Una sucesión matemática es una secuencia ordenada de números u otros objetos matemáticos relacionados entre sí. Estos elementos están dispuestos en una determinada posición relativa respecto del número anterior. Cada uno de estos elementos se conoce como término, elemento o miembro de la sucesión. La longitud de la sucesión se refiere al número total de términos que la componen.
Elementos de una sucesión matemática
Números u otros objetos matemáticos relacionados entre sí
Los elementos de una sucesión pueden ser números, como por ejemplo: 1, 2, 3, 4, 5. Pero también pueden ser otros objetos matemáticos, como por ejemplo: puntos en un plano, vectores, funciones, entre otros.
Posición relativa de cada número respecto del anterior
En una sucesión, cada número o elemento tiene una posición relativa respecto del número anterior. Esta posición determina el orden en el que se presentan los elementos de la sucesión.
Término (también elemento o miembro) de la sucesión
Cada número u objeto matemático que forma parte de la sucesión se conoce como término, elemento o miembro de la sucesión. Por ejemplo, en la sucesión 1, 2, 3, 4, 5, el número 1 es el primer término, el número 2 es el segundo término, y así sucesivamente.
Longitud de la sucesión
La longitud de una sucesión se refiere al número total de términos que la componen. Por ejemplo, en la sucesión 1, 2, 3, 4, 5, la longitud de la sucesión es 5.
Características de las sucesiones matemáticas
Función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales
Una sucesión matemática se puede ver como una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. Esto significa que cada número natural se corresponde con un término de la sucesión.
Codominio es cualquier otro conjunto
El codominio de una sucesión puede ser cualquier otro conjunto, no necesariamente numérico. Por ejemplo, una sucesión puede tener como codominio el conjunto de los puntos en un plano.
Sucesiones finitas
Una sucesión es finita cuando tiene un número limitado de términos. Por ejemplo, la sucesión 1, 2, 3, 4, 5 es una sucesión finita.
Sucesiones infinitas
Una sucesión es infinita cuando tiene un número ilimitado de términos. Por ejemplo, la sucesión 1, 2, 3, 4, 5, … es una sucesión infinita.
Conceptos relacionados con las sucesiones
Término general
El término general de una sucesión es una fórmula o regla que permite calcular cualquier término de la sucesión. Por ejemplo, en la sucesión 1, 3, 5, 7, 9, el término general es 2n-1, donde n es el número de término.
Regla determinada
Una sucesión puede estar determinada por una regla específica que define cómo se obtienen los términos de la sucesión. Por ejemplo, en la sucesión 1, 4, 9, 16, 25, la regla determinada es n^2, donde n es el número de término.
Fórmula de un término arbitrario
La fórmula de un término arbitrario de una sucesión es una expresión que permite calcular cualquier término de la sucesión sin necesidad de conocer los términos anteriores. Por ejemplo, en la sucesión 1, 2, 4, 8, 16, la fórmula de un término arbitrario es 2^n, donde n es el número de término.
Relación de recurrencia
Una relación de recurrencia es una fórmula que permite calcular un término de la sucesión en función de los términos anteriores. Por ejemplo, en la sucesión de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, …), la relación de recurrencia es Fn = Fn-1 + Fn-2, donde Fn es el término n de la sucesión.
Propiedades de las sucesiones
Sucesión por recurrencia
Una sucesión por recurrencia es aquella que se define mediante una relación de recurrencia. Esto significa que cada término de la sucesión se calcula en función de los términos anteriores.
Subíndices
Los subíndices se utilizan para indicar la posición de cada término de la sucesión. Por ejemplo, en la sucesión 1, 2, 3, 4, 5, los subíndices serían n=1, n=2, n=3, n=4, n=5.
Sucesión vacía
Una sucesión vacía es aquella que no tiene ningún término. Por ejemplo, la sucesión vacía se representa como ().
Sucesión definida por una aplicación de los números naturales sobre otro conjunto numérico
Una sucesión se puede definir como una aplicación de los números naturales sobre otro conjunto numérico. Por ejemplo, la sucesión 1, 2, 3, 4, 5 se puede definir como una aplicación de los números naturales sobre el conjunto de los números enteros positivos.
Tipos de sucesiones
Sucesión finita
Una sucesión es finita cuando tiene un número limitado de términos. Por ejemplo, la sucesión 1, 2, 3, 4, 5 es una sucesión finita.
Sucesión infinita
Una sucesión es infinita cuando tiene un número ilimitado de términos. Por ejemplo, la sucesión 1, 2, 3, 4, 5, … es una sucesión infinita.
Subsucesión
Una subsucesión es una sucesión que se obtiene seleccionando algunos términos de una sucesión original. Por ejemplo, en la sucesión 1, 2, 3, 4, 5, una subsucesión podría ser 2, 4, 5.
Sucesión monótona
Una sucesión monótona es aquella en la que todos los términos son mayores o iguales (sucesión creciente) o menores o iguales (sucesión decreciente) que los términos anteriores. Por ejemplo, la sucesión 1, 2, 3, 4, 5 es una sucesión creciente, mientras que la sucesión 5, 4, 3, 2, 1 es una sucesión decreciente.
Propiedades de las sucesiones
Sucesión creciente
Una sucesión es creciente cuando cada término es mayor o igual que el término anterior. Por ejemplo, la sucesión 1, 2, 3, 4, 5 es una sucesión creciente.
Sucesión decreciente
Una sucesión es decreciente cuando cada término es menor o igual que el término anterior. Por ejemplo, la sucesión 5, 4, 3, 2, 1 es una sucesión decreciente.
Sucesión acotada
Una sucesión es acotada cuando existe un número real que sirve como límite superior o inferior para todos los términos de la sucesión. Por ejemplo, la sucesión 1, 2, 3, 4, 5 está acotada superiormente por 5 y acotada inferiormente por 1.
Límite de una sucesión
El límite de una sucesión es el valor al que tienden los términos de la sucesión cuando el número de términos tiende a infinito. Por ejemplo, en la sucesión 1, 1/2, 1/4, 1/8, …, el límite es 0.
Clasificación de las sucesiones
Sucesión convergente
Una sucesión es convergente cuando tiene un límite finito. Esto significa que los términos de la sucesión se acercan cada vez más a un valor específico a medida que el número de términos aumenta.
Sucesión divergente
Una sucesión es divergente cuando no tiene un límite finito. Esto significa que los términos de la sucesión no se acercan a ningún valor específico a medida que el número de términos aumenta.
Sucesión de Cauchy
Una sucesión de Cauchy es aquella en la que los términos se acercan cada vez más entre sí a medida que el número de términos aumenta. Esto implica que la sucesión es convergente.
Espacio completo
Un espacio completo es aquel en el que todas las sucesiones de Cauchy convergen. Esto implica que no hay «agujeros» o «huecos» en el espacio.